La teoría de optimización clásica o programación matemática está constituida por un conjunto de resultados y métodos analíticos y numéricos enfocados a encontrar e identificar al mejor candidato de entre una colección de alternativas, sin tener que enumerar y evaluar explícitamente todas esas alternativas. Un problema de optimización es, en general, un problema de decisión.
Con el fin de ilustrar de forma adecuada la estructura y composición de un problema de optimización, introduciremos a continuación un sencillo ejemplo.
Ejemplo 1 (Construcción de una caja con volumen máximo) Supongamos que queremos determinar las dimensiones de una caja rectangular de forma que contenga el mayor volumen posible, pero utilizando para ello una cantidad fija de material. El problema en forma abstracta se podría plantear en los siguientes términos Maximizar Volumen de la caja sujeto a Área lateral fija Con el fin de resolver este problema habrá que modelar matemáticamente, es decir tendremos que expresarlo en términos matemáticos.
El primer paso para modelar un problema de optimización es identificar y definir las variables que están implicadas en dicho problema, en este caso y puesto que estamos tratando de determinar el tamaño de una caja rectangular, la opción más clara es considerar como variables sus tres dimensiones rectangulares usuales (ancho, largo, alto) y que representamos con x, y, z. Con estas variables, la función para la que tenemos que encontrar el mejor valor será el volumen de la caja que puede expresarse como V (x, y, z) = x y z.
A continuación debemos tener en cuenta las limitaciones existentes sobre el material. Como este material se utiliza para construir las paredes de la caja, necesitaremos considerar el área lateral de la misma, y si la caja tiene tapa, dicha área será A (x, y, z)= 2(xy + yz + zx).
Por último, teniendo en cuenta que las dimensiones de la caja no pueden ser negativas el problema puede expresarse matemáticamente como Maximizar xyz sujeto a 2 (xy + yz + zx) = A x, y, z ≥ 0.
Puntos de Inflexión
Se define un punto de inflexión como el punto en que la función pasa de ser convexa a cóncava o de cóncava a convexa.
En la siguiente gráfica podemos ver que cuando x = 0, la gráfica pasa de ser cóncava a ser convexa, por lo que podemos decir que el punto de inflexión esta en X = 0.
Una característica de los puntos de inflexión es que son los puntos donde la función derivada tiene máximos y mínimos. Si nos fijamos, cuando nos acercamos a un punto de inflexión la función cada vez crece más (o decrece menos), pero al sobrepasar el punto de inflexión la función empieza a crecer menos (o decrecer menos). Esto significa que justamente donde haya un punto de inflexión la derivada tendrá un máximo o un mínimo. Consecuentemente encontraremos los puntos de inflexión buscando ceros de la segunda derivada.
Vamos a ilustrar el proceso con un ejemplo para así dar una explicación simple y clara:
Consideraremos la función F(x) = x³ - 3x (es la función representada en la anterior gráfica).
Sabemos ya calcular los máximos y los mínimos de la función f(x) usando la primera derivada. La expresión de ésta es 3x² - 3 y justamente encontramos máximos y mínimos respectivamente en x = -14 y x = 1 . Si representamos la gráfica de la derivada queda:
Observamos que justamente donde la derivada tiene un mínimo es donde la función tiene el punto de inflexión.
Para saber qué punto es vamos a derivar la función derivada e igualarla a cero: F´´(x) = 6x=0 = x = 0/6 = 0, y por tanto la función original en x = 0 tiene un punto de inflexión.
Máximos y Mínimos
Loas máximos y mínimos de una función son los valores más grandes o más pequeños de ésta, ya sea en una región o en todo el dominio.
Los máximos y mínimos en una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma la función, ya sea en una región (extremos relativos) o en todo su dominio (extremos absolutos).
A continuación tenemos un vídeo acerca de lo que es optimización clásica